Con qué, con que, conque

   La locución con qué, es decir, con tilde, es la unión de la preposición con seguida de la conjunción interrogativa o exclamativa que.

Titular de La Nación, 4-3-2019. 

https://www.lanacion.com.ar/deportes/tenis/con-que-animal-comparo-diego-schwartzman-rafael-nid2284816 

   Sin tilde es la preposición con seguido del relativo que. Equivale a con el cual o con la cual, por tanto, para identificarlo, basta con intercalar el artículo. 

   La tercera, conque, es una conjunción ilativa. Expresa consecuencia y equivale a por tanto o así que. 

—Ayer fui a su casa. Quique me llevó en su coche hasta la calle San Bartolomé. Como es un cagaprisas y no paraba de protestar, que si tenía una cita importante con un cliente, que si por mi culpa iba a llegar tarde, le dije: para aquí, ya subo la cuesta andando. No tenía yo muy buenas vibraciones, ¿sabes? Llamo a la ama y no coge. La vuelvo a llamar y tampoco. Y así dos días. Conque me pareció lo mejor ir a echar un vistazo. 

Aramburu, Fernando. Patria. Tusquets (España), 2016. 

-La gravedad que reviste dice relación, por una parte, conque la violación de derechos proviene del Estado y, por otra, que sea una violencia sexual específica hacia mujeres ejercida por agentes del Estado, importa una suerte de transparencia de una política estatal. Nos parece que esta violencia sexual se ejerce con el fin de inhibir a las mujeres de manifestarse y de la participación genérica en la vía pública y política de la nación. Es particularmente grave que esta limitación venga dada por el Estado, avalada por él y ejercida por sus funcionarios. 

Berlagoscky, Fanny. «Abogada Patricia Rada. La violencia sexual policial contra estudiantes». Revista Chilena de Salud Pública (Chile). revistasaludpublica.uchile.cl, 2012-09.